✎ Montrer l'alignement de trois points - Méthode

Soit \(\text A(z_\text A) , \text B(z_\text B)\) et \(\text C(z_\text C)\) trois points distincts du plan complexe.  Pour prouver que \(\text A , \text B\) et \(C\) sont alignés, on peut :

• montrer que \(\arg\left(\dfrac{z_\text C-z_\text A}{z_\text B-z_\text A}\right) \equiv 0 \ [\pi]\) ;
  
• montrer que \(\dfrac{z_\text C-z_\text A}{z_\text B-z_\text A}\) est réel.
  

Remarque

Montrer que \(\text A , \text B\) et \(\text C\) sont alignés revient à montrer que les vecteurs \(\overrightarrow{\text A\text B}\)  et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires, et donc que leurs coordonnées (ou leurs affixes complexes) sont proportionnelles :
\(\begin{align*}\text A, \ \text B, \ C \text{ sont alignés} & \Longleftrightarrow \overrightarrow{\text A\text B} \text{ et } \overrightarrow{\text A\text C} \text{ sont colinéaires} \\& \Longleftrightarrow \text{il existe } k \in \mathbb{R} \text{ tel que } \overrightarrow{\text A\text C}=k\overrightarrow{\text A\text B}\\ & \Longleftrightarrow \text{il existe } k \in \mathbb{R} \text{ tel que } z_{\overrightarrow{\text A\text C}}=kz_{\overrightarrow{\text A\text B}} \\& \Longleftrightarrow \text{il existe } k \in \mathbb{R} \text{ tel que } z_\text C-z_\text A=k(z_\text B-z_\text A) \\& \Longleftrightarrow \text{il existe } k \in \mathbb{R} \text{ tel que } \frac{z_\text C-z_\text A}{z_\text B-z_\text A}=k \\ & \Longleftrightarrow \frac{z_\text C-z_\text A}{z_\text B-z_\text A} \in \mathbb{R}\end{align*}\)
car  \(\text A\) et  \(\text B\) sont distincts, donc \(z_\text B-z_\text A \neq 0\) .

Exemple

Soit  \(\text A,\text B,\text C\)  ayant pour affixes respectives  \(-\dfrac{1}{3}-i, 1+2i, \dfrac{7}{3}+5i\) .
Montrons que  \(\text A,\text B\)  et  \(\text C\)  sont alignés :  \(\dfrac{z_\text C-z_\text A}{z_\text B-z_\text A}=\dfrac{\frac{7}{3}+5i-(-\frac{1}{3}-i)}{1+2i-(-\frac{1}{3}-i)}=\dfrac{\frac{8}{3}+6i}{\frac{4}{3}+3i}=2\)  
et 2 est bien un nombre réel.
Donc  \(\text A, \text B\)  et  \(\text C\)  sont bien alignés.